LA SEZIONE AUREA

La proprietà principale è quella per cui il rapporto F(n )/ F(n-1) al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea, numero di Fidia o numero aureo. Viene così chiamato, perché le coppie di segmenti che lo genenerano producono insieme forme talmente armoniose e proporzionate (divina proporzione) da essere denominata, verso la fine dell’ottocento, “Sezione aurea” . 

In geometria la sezione aurea di un segmento è quella parte del segmento che è medio proporzionale fra l’intero segmento e la parte di segmento rimanente.

 Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo “figlio” con lo stesso procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili.

Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di accostare in successione dei quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune. 

a curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole sopra descritta e delle foglie su un ramo. Di conseguenza possiamo notare come la matematica interagisce con la natura

RELAZIONE CON IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA ED I COEFFICIENTI BINOMIALI

In matematica, il triangolo di Tartaglia ,è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio  elevato ad una qualsiasi potenza , a forma di triangolo.

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di , è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:

Per mostrare che esiste una relazione tra il triangolo e in numeri di Fibonacci, riscriviamo i numeri del triangolo nel seguente modo:

Come si vede, a partire dalla prima linea rossa in alto, se si sommano i numeri attraversati da ogni linea, otteniamo la successione di Fibonacci.

BIOGRAFIA

Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque intorno al 1170 a Pisa luogo in cui suo padre era segretario della Repubblica.

Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa.

In seguito Bonacci si affidò all'aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche.

In tutta la sua produzione l’opera più importante è il "Liber Abaci", comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro.

In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti.

Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica.

Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.
Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste un’intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il "Fibonacci Quarterly", periodico matematico dedicato interamente all’aritmetica connessa alla sequenza di Fibonacci.

LIBER ABBACI

Il Liber abbaci è un testo di argomento matematico. Scritto in latino medievale nel 1202 da Leonardo Fibonacci, che poi lo riscrisse nel 1228, ha svolto un ruolo fondamentale nella storia della matematica occidentale ed è ritenuto uno dei libri più importanti e fecondi del Medioevo.Il Liber abaci è un trattato di aritmetica e algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci ha introdotto in Europa il sistema numerico decimale indo-arabico e i principali metodi di calcolo ad esso relativi. In effetti il libro non tratta l'utilizzo dell'abaco e il suo titolo può essere tradotto in Libro del calcolo. Alcuni credono addirittura che il titolo sia sbagliato, dato che abaco per i greci, i romani e i maestri d'abaco dei secoli precedenti era uno strumento di calcolo. Fibonacci invece riserva questa denominazione all’aritmetica-algebra applicativa in genere. Su questo testo, per oltre tre secoli, si formeranno maestri e allievi della scuola toscana. L’equilibrio fra teoria e pratica era pienamente raggiunto. Fibonacci dice, infatti: "Ho dimostrato con prove certe quasi tutto quello che ho trattato".Quando il Liber abaci fu scritto, in Europa la matematica era praticamente inesistente, se si escludono le traduzioni dei testi classici (gli Elementi di Euclide, per esempio) che comunque erano ancora molto poco diffuse.  

CHE COS'E' LA SERIE NUMERICA DI FIBONACCI?

Leonardo Fibonacci individuò questa serie per la prima volta nel 1202, per risolvere un problema pratico: Quello di trovare una legge matematica che potesse descrivere la crescita di una popolazione di conigli.

Assumendo per ipotesi che:

• Si disponga di una coppia di vispi conigli appena nati

• Questa coppia (la prima) diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese
• Le nuove coppie nate si comportino in modo analogo
• Le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi, diano alla luce una coppia di figli al mese

Si verifica quanto segue:

• Dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile
• Dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una solo sarà fertile
• Nel mese seguente ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste 3 due saranno le coppie fertili quindi
• Nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie 

In questo esempio il numero di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

In questa serie ogni numero è il risultato della somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... fino all'infinito. 

Fino al XIX secolo a questa successione non fu attribuita alcuna importanza, finché si scoprì che può essere applicata, per esempio, nel calcolo delle probabilità, nella sezione aurea e nel triangolo aureo. I numeri di Fibonacci si trovano anche in natura, per esempio nella disposizione delle foglie. 

In molti alberi, scegliendo una foglia su uno stelo e assegnandole il numero “0”, contando il numero di foglie fino ad arrivare a una perfettamente allineata con la foglia “0”, probabilmente si troverà un numero di Fibonacci. Anche i petali di moltissimi fiori sono un numero di Fibonacci.

IL GIOCO DI FIBONACCI

http://www.gioca.re/gioco/2584-fibonacci

LA SEZIONE DI FIBONACCI IN ARTE

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d'arte:

Mario Merz li ha usati nell'installazione luminosa denominata “Il volo dei numeri” su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino. 

Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa, inoltre, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997. Lo stesso autore ha inoltre realizzato nel 1994 un'installazione permanente sulla ciminiera della compagnia elettrica Turku Energia a Turku, in Finlandia.

Anche il pittore austriaco Helmutt Bruck ha dipinto quadri omaggianti Fibonacci e prodotto opere in serie di 21.

A Barcellona e a Napoli è stata creata un'installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell'area della Barceloneta, all'interno dell'area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all'interno della stazione Vanvitelli della linea 1 della metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all'interno della stazione vera e propria.